تبدیل لاپلاس یکی از پر کاربردترین تبدیلات ریاضی در دنیای علم کامپیوتر ، مهندسی الکترونیک و … است که از جمله کاربرد های آن می توان به تحلیل ورودی خروجی مدار های الکتریکی و پردازش سیگنال (مخصوصاً پردازش صدا ) اشاره کرد. این تبدیل برای انتقال توابع از حوزه زمان به فرکانس به کار می رود و هدف از استفاه از آن راحت تر کردن تحلیل هاست. معمولاً در مورد این تبدیل موارد زیر مورد توجه قرار می گیرند :

  • این تبدیل توابع را از حوزه زمان به حوزه فرکانس انتقال می دهد.
  • این تبدیل معادلات پیچیده مبتنی بر انتگرال و معادلات دیفرانسیل را به معادلات جبری ساده تر تبدیل می کند.
  • پیچش (convolution) را به ضرب تبدیل می کند
  • و …
    بهتر است بگوییم که این تبدیل تابعی در حوزه زمان را به تابعی مختلط (complex) در حوزه فرکانسی تبدیل می کند. (در حقیقت تبدیلات در فضای مختلط صورت می گیرند ولی در بسیاری از کاربرد های عملی قسمت موهومی را می توان صفر در نظر گرفت).

متلب از دستور های laplace، fourier و fft برای کار با تبدیلات فوریه و لاپلاس و فوریه سریع استفاده می کند.

اعداد مختلط

قبل از تعریف تبدیل لاپلاس بهتر است یک نگاه اجمالی به اعداد مختلط داشته باشیم.

یک عدد مختلط z  به فرم z=x+iy یا z=x+jy  نوشته می شود که x بخش حقیقی (real) و y بخش موهومی (imaginary) نامیده می شود. i نیز ۱-‾√ است که در کتاب های مهندسی با j نیز نمایش داده می شود.

عدد مختلط z را می توان به شکل قطبی z=re نیز نشان داد که در آن r اندازه z نامیده می شود.
و θ نیز زاویه یا فاز نامیده می شود. e نیز معادل (cos(θ)+isin(θ است.

برای عدد z مختلط داریم : ((ez=ex+iy=ex+eiy=ex(cos(y)+isin(y

تبدیلات لاپلاس

تبدیل لاپلاس تابع (f(t را برای t≥۰ معمولاً با حرف بزرگ و به صورت (F(s نمایش می دهند که s متغییری در فضای مختلط است. این تبدیل در شکل ساده (بدون در نظر گرفتن پیچیدگی های حد بالا و پایین) به صورت زیر بیان می شود:

تبدیلات لاپلاس

تبدیل لاپلاس تابع (f(t را با (F(s نشان می دهند. تبدیل لاپلاس یکی از روشهای حل معادلات دیفرانسیل است که در حل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزیی کاربرد فروانی دارد. برای حل معادله لاپلاس از دستور laplace استفاده می‌شود:

برای استفاده از این دستور ابتدا باید متغیر سمبلیک را تعریف کرد:

البته هر متغیر دلخواه دیگری را هم می‌شود تعریف کرد و تابع برگشتی هم بر حسب s می‌باشد:

 

مثال:

در این مثال تبدیل لاپلاس چند تابع مشهور را بدست می آوریم. فایل اسکریپت را ایجاد کرده و کد های زیر را در آن می نویسیم:

برنامه را اجرا کرده و نتیجه به صورت زیر ایجاد خواهد شد:

تبدیلات لاپلاس وارون

متلب با استفاده از دستور ilaplace لاپلاس وارون توابع را پیدا می کند.

مثال:

متلب بعد از اجرا نتیجه را به صورت زیر نشان می دهد:

مثال:

فایل اسکریپت را ایجاد کرده و کد های زیر را در آن می نویسیم:

نتیجه به صورت زیر خواهد بود:

تبدیلات فوریه

این نوع از تبدیل، تابع را به تابع متناوب تبدیل می کند. در زیر نمونه ای از این تبدیل به کار رفته است.

مثال:

یک فایل اسکریپت ایجاد کرده و کد های زیر را در آن تایپ کنید:

متلب نمودار زیر را بر می گرداند:

تبدیلات فوریه

و نتیجه به صورت زیر خواهد بود:

رسم کردن تبدیل فوریه به صورت زیر است:

نمودار زیر را نشان میدهد:

رسم کردن تبدیل فوریه

تبدیل فوریه معکوس

با استفاده از دستور ifourier ، فوریه معکوس یک تابع پیدا می شود.

مثال:

متلب عبارت زیر را به عنوان نتیجه بر می گرداند:

image_pdfدانلود فایل pdf این مقاله
کلیدواژه ها :

این خبر را به اشتراک بگذارید :